Teorema da derivabilidade e continuidade

Toda a função real de variável real com derivada finita num ponto é contínua nesse ponto. Vejamos a demonstração deste teorema:

• Suponhamos que a função tem derivada finita no ponto de abcissa a. Então, como

com x ≠ a e, aplicando as propriedades operatórias dos limites, teremos

Ora, se tivermos em conta que

e que , então será

, ou seja,

Pelo que a função é contínua no ponto de abcissa a. Logo, se a função tem derivada finita no ponto de abcissa a, então é contínua nesse ponto.

Nota: O recíproco deste teorema não é verdadeiro. Com efeito, existem funções contínuas num ponto que não têm, nesse ponto, derivada finita.