e-Portefólio da Andreia Marta: Definição de limite

quinta-feira, 2 de fevereiro de 2012

Definição de limite

Definimos

lim_(x->c) f(x)

como sendo o número L (caso exista), tal que para todo o epsilon>0

epsilon>0

(tão pequeno quanto queiramos) existe um delta>0

delta>0

(suficientemente pequeno), tal que se, abs(x-c)<delta

abs(x-c)<delta

e x diferente de c, então abs(f(x)-L)<epsilon

abs(f(x)-L)<epsilon

.

Observe com atenção a seguinte animação:

Exercício:

Prove que $[;\lim_{x \to 3} 2x - 4 = 2;]$

Resolução:

Note que , $[;f(x) = 2x - 4;]$ , $[;a = 3;]$ e $[;L = 2;]$ , dado que

, existe $[;\delta \succ 0;]$ , tal que:

$[;\mid f(x) - 2 \mid \prec \epsilon \qquad \text{se} \qquad 0 \prec \mid x - 3 \mid \prec \delta;]$

$[;\Rightarrow \quad \mid (2x - 4) - 2\mid \prec \epsilon \qquad \text{se} \qquad 0 \prec \mid x - 3 \mid \prec \delta;]$

$[;\Rightarrow \quad 2\mid x - 3 \mid \prec \epsilon \qquad \text{se} \qquad 0 \prec \mid x - 3 \mid \prec \delta;]$

$[;\Rightarrow \mid x - 3 \mid \prec \frac{\epsilon}{2};]$

Escolhendo $[;\delta = \epsilon/2;]$ , a definição verifica-se.

Definição de limite no infinito:

Definimos

lim_(x->infinity) f(x)

como sendo o número L (caso exista) tal que, para todo o epsilon>0

epsilon>0

(tão pequeno quanto queiramos) existe N (suficientemente grande) tal que se x>N então abs(f(x)-L)<epsilon

abs(f(x)-L)<epsilon

.

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