Teorema da derivabilidade e continuidade

Toda a função real de variável real com derivada finita num ponto é contínua nesse ponto. Vejamos a demonstração deste teorema:

• Suponhamos que a função tem derivada finita no ponto de abcissa a. Então, como

com x ≠ a e, aplicando as propriedades operatórias dos limites, teremos

Ora, se tivermos em conta que

e que , então será

, ou seja,

Pelo que a função é contínua no ponto de abcissa a. Logo, se a função tem derivada finita no ponto de abcissa a, então é contínua nesse ponto.

Nota: O recíproco deste teorema não é verdadeiro. Com efeito, existem funções contínuas num ponto que não têm, nesse ponto, derivada finita.

Recta tangente e definição de derivada

Recta Secante:

m= coeficiente angular da reta (declive)

Seja f uma função contínua em um intervalo aberto I . Para cada a , a+ h Î I , tal que h ¹ 0 , temos :

· Coeficiente Angular da Reta Secante ao gráfico de f nos pontos ( a , f ( a ) ) e ( a + h , f ( a + h ) ) :

Recta tangente:

Definimos recta tangente ao gráfico da função no ponto (a; f(a)) como sendo a recta que passa pelo ponto (a;f(a)) e tem declive f '(a).

Reta tangente ao gráfico de f no ponto ( a , f( a ) ) :

Se a reta tangente não é vertical então tem uma equação da forma :

y – f ( a ) = m ( x – a )

onde m é o coeficiente angular da reta . Devemos determinar o número m

Para isto , tomemos retas secantes ao gráfico de f no ponto ( a , f ( a ) ) e em um ponto ( a + h , f ( a + h ) ) .

Se a reta tangente é vertical então sua equação é x = a .

Definição de derivada:

Exercício:

f(x) = |x|; x=0

Estudar a derivada de f em zero (0)

Resolução:

Teorema do valor intermédio (Teorema de Bolzano)

Seja f uma função contínua no intervalo I = [a;b], se f(a) < f(b), para cada f(a) ≤ L ≤ f(b) existe pelo menos um c pertencente ao intervalo aberto de a até b, tal que f(c) = K

Corolário do Teorema de Bolzano:

"Se é uma função contínua num intervalo fechado e e têm sinais contrários, então existe pelo menos um valor real c, pertencente ao intervalo aberto tal que = 0", ou de outra forma, "se é uma função contínua num intervalo fechado e x < 0, então existe pelo menos um zero de num intervalo aberto".

Limites laterais

Definição de limite à esquerda:

Definição de limite à direita:

Teorema do Confronto (Teorema do Sandwich )

Sejam f, g e h funções definidas num intervalo I excepto possivelmente em x=a que pertence a I, se para todo o x pertencente a I excepto a, tivermos f(x) entre g(x) e h(x) e , então

Exercício:

f(x)= xsen(10/x)

g(x)= |x|

h(x)= - |x|

Continuidade de uma função num ponto

Seja uma função real de variável real cujo domínio contenha pelo menos um intervalo aberto , em que a < b coma, b ∈ e seja c ∈ .

Então diz-se uma função contínua em c se e só se:

• 

Em particular, seja uma função real de variável real cujo domínio contenha pelo menos um intervalo aberto , em que a < b com a, b ∈ e seja c ∈ .

Então diz-se uma função contínua à esquerda de c se e só se:

• Da mesma forma, seja uma função real de variável real cujo domínio contenha pelo menos um intervalo aberto , em que a < b com a, b ∈ e seja c ∈ .

Então diz-se uma função contínua à direita de c se e só se:

• Mas se uma função real de variável real for contínua num ponto c, é necessariamente contínua à esquerda de c e é contínua à direita de c.

Propriedades de funções contínuas num ponto c:

Se e forem duas funções reais de variável real e contínuas em c, sendo que , são também contínuas em as seguintes composições de e de :

- A função soma +

- A função diferença -

- A função produto x

- A função quociente desde que g(c) ≠ 0

- A função potência de expoente n, com n ∈

- A função raiz de índice n, com n ∈ e 0 no caso de n ser par

- A própria função composta 0 é contínua em c, com c ∈ , se e só se for contínua em c, e for contínua em g(c).

Resumindo:

Uma função é contínua se:

• a ∈ Df
• existe
• =

Exemplo de uma função não contínua: